(Calculando áreas)
Un polígono puede definirse como una figura
cerrada con n número de lados. Un
polígono es regular si todos sus
lados y todos sus ángulos interiores son congruentes.
Sin importar cuántos lados tenga un polígono
regular, su superficie interior puede dividirse en el más básico de los
polígonos - triángulos. Cuando estos triángulos tienen un vértice en común en
el centro del polígono, estos son congruentes e isósceles.
Encontrar el área de un polígono regular,
entonces, puede simplificarse a encontrar la suma de las áreas de estos
triángulos.
En esta actividad, determinarás el área de
polígonos regulares usando un enfoque aditivo y después compararás tu suma con
las áreas calculadas con la herramienta de geometría. Los patrones de los
valores de área y perímetro serán examinados al cambiar el número de lados del
polígono.
INSTRUCCIONES:
1. Presiona ON para encender la calculadora
TI-Nspire CAS. Para “limpiar” o borrar los documentos o actividades realizadas
previamente, elige la opción 1 NUEVO ARCHIVO. Aparecerá la leyenda ¿DESEA
GUARDAR DOCUMENTO NO GUARDADO?; elegimos la opción No.
2. Elige la herramienta de Geometría. Te abrirá un
nuevo documento.
3. Construye un pentágono regular usando el radio
especificado por la longitud de un segmento de la siguiente forma:
> Dibuja un segmento eligiendo de Menu, Puntos y líneas y después Segmento.
Mueve el cursor al centro de la pantalla y da clic
o ENTER. Prolóngalo hasta que éste mida aproximadamente
1.5 cm dando clic para terminar de dibujar. Presiona ESC para deshabilitar esta
herramienta.
Nombra un extremo con la letra A. Al otro extremo
nómbralo con la letra B. Para hacer esto en Menu
elige Acciones y después Texto. Acerca el cursor hasta el vértice
y cuando aparezca la palabra Punto da
clic o ENTER. Aparecerá un cuadrito de texto en donde escribirás la letra
correspondiente. Da ENTER, y al terminar, presiona ESC para deshabilitar esta
herramienta.
Mide el segmento eligiendo de Menu, Medición y Longitud.
Acerca el cursor al segmento hasta que aparezca la
palabra segmento y da clic oENTER. Vuelve a dar clic o ENTER para anclar este dato en alguna
parte de la pantalla. Presiona ESC para deshabilitar esta herramienta.
Edita este valor a 5.5cm para definir el tamaño
del radio. Para hacer esto da doble clic sobre el número y cambia su valor por
el propuesto.
4. Para dibujar un pentágono regular, selecciona
del Menú Formas y después Polígono regular. Coloca el cursor en A
hasta que aparezca punto A y elígelo
como el centro del polígono.
Mueve el cursor hasta llegar a B y cuando parezca punto B elígelo para determinar la
medida del radio de este polígono.
Aparecerá un círculo con puntos y el número de
lados del polígono. Para aumentar o reducir el número de lados gira el cursor
en el sentido de las manecillas del reloj hasta que aparezca 5 y da clic o ENTER. Presiona ESC para deshabilitar esta
herramienta.
5. Empezando con el radio AB ya dibujado,
construye un triángulo con segmentos adicionales.
Elige de Menú
Puntos y líneas y de éste a Segmento.
Mueve el cursor hasta A y da clic cuando aparezca Punto A. Dibuja el segmento hacia un vértice adyacente del polígono
y da clic o ENTER cuando aparezca la palabra Punto.
Presiona ESC para deshabilitar esta herramienta.
Nombra a este vértice con la letra C. En Menu elige Acciones y después Texto.
Acerca el cursor hasta el vértice y cuando aparezca la palabra Punto da clic o ENTER. Presiona ESC para deshabilitar esta
herramienta.
6. Para construir la altura del triángulo, que
también se le llama apotema de un
polígono regular, selecciona de Menu
a Construcción y de aquí a Punto medio y acerca el cursor al
polígono, dando clic en el segmento que une a B con C. Aparecerá un punto sobre
él. Presiona ESC para deshabilitar esta herramienta.
Ahora une este punto medio con el centro A
dibujando un segmento. Presiona ESC para deshabilitar esta herramienta.
7. Ahora mide la longitud de la base y la altitud
del triángulo, así como el radio AB del polígono, eligiendo Menu, Medición – Longitud. Da un segundo
clic en cada uno para anclar los valores en algún lugar de la pantalla.
Presiona ESC para deshabilitar esta herramienta.
Anota enseguida cada dato obtenido:
(b)Base: (h)Altura: (r)Radio:
8. El área del triángulo ABC puede ser determinada
por el método tradicional usando la fórmula A
= ½ bh, donde b representa la base y h la altura del triángulo
Para hacer este cálculo en la pantalla,
seleccionamos de Menu: Acciones y de ahí a Texto para luego escribir 1÷2(b x h) dando ENTER al terminar. Presiona ESC para deshabilitar esta
herramienta.
Enseguida, elige de Menu: Acciones y después Calcular.
Acerca el cursor a la expresión ya escrita y da un clic sobre ella: te pedirá
elegir la variable b y después la variable h, dando clic en cada una de sus
medidas. Da ENTER para anclar este dato. Presiona ESC para deshabilitar esta
herramienta.
Escribe enseguida el dato calculado:
Área del triángulo ABC:
9. El interior del pentágono regular puede ser
dividido en triángulos congruentes como el ya dibujado. ¿Cuál es el número de
áreas triangulares que forman el pentágono?
10. Para determinar el área de todo el polígono,
puedes multiplicar el área del triángulo, A
= ½ bh, ya calculada, por el número de triángulos n que forman el polígono.
Área de un polígono regular = (½ bh)(n)
Para realizar el cálculo del área del pentágono,
escribe la expresión 5 x area,
eligiendo Menu: Acciones y Texto.
Presiona ESC para deshabilitar esta herramienta.
Después, elige de Menu: Acciones y después Calcular.
Acerca el cursor a la expresión ya escrita y da un clic sobre ella: te pedirá
elegir la variable area, da clic en este
dato ya calculado. Da ENTER para anclar este dato. Presiona ESC para deshabilitar esta
herramienta.
Escribe enseguida el dato calculado:
Área del pentágono:
11. La fórmula matemática para calcular el área de
cualquier polígono regular es:
Área de un polígono regular = ½ aP, donde a representa la apotema y P el perímetro.
Explica por qué ½ aP es equivalente a (½ bh)(n)
Para medir el perímetro del pentágono eliges Menu, Medición – Longitud. Mueve el
cursor hacia uno de los lados del polígono, excepto el lado BC, y presiona ENTER cuando aparezca la
palabra polígono. Escribe enseguida el dato calculado:
Perímetro del pentágono:
12. Calcula el área del pentágono utilizando la
fórmula del paso 11. Elige en Menu: Acciones y de ahí a Texto para luego escribir 1÷2(a x P) dando ENTER al terminar. Presiona ESC para deshabilitar esta
herramienta.
Enseguida, elige de Menu: Acciones y después Calcular.
Acerca el cursor a la expresión ya escrita y da un clic sobre ella: te pedirá
elegir la variable a y después la variable P, dando clic en cada una de sus
medidas. Da ENTER para anclar este dato. Presiona ESC para deshabilitar esta
herramienta.
Compara este dato con el obtenido en el paso 10.
¿Cómo son entre sí?
13. La calculadora TI-Nspire calcula
automáticamente el área de un polígono. Presiona Menu – Medición – Área, para luego acercar el cursor al polígono,
hasta que aparezca la palabra polígono. Da ENTER para anclar este dato. Presiona ESC para deshabilitar esta
herramienta.
Compara este dato con los obtenidos en los pasos
10 y 12. ¿Cómo son entre sí?
14. Ahora que has investigado tres métodos para
encontrar el área de un polígono regular, exploren cómo cambian esas áreas y
perímetros al incrementar el número de lados. Sigue estos pasos:
a) Mueve el cursor al primer vértice enseguida de
B, en el sentido de las manecillas del reloj. Cuando aparezca la palabra Punto
tómalo y muévelo. La figura completa desaparecerá, a excepción del radio AB. El
nuevo polígono será construido con este segmento para asegurar que tiene la
misma medida del radio que el pentágono original.
b) Sigue las indicaciones del paso 4 para
construir el polígono regular.
c) Calcula el perímetro y el área del polígono
como lo indican en los pasos 11 y 13. Registra estos datos en la tabla de
abajo.
d) Repite de a) al c) para cada polígono y termina
de completar la tabla.
Polígono regular
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Perímetro (cm)
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Área (cm2)
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15. Al aumentar el número de lados de un polígono
regular, ¿A qué forma geométrica se va asemejando?
16. La circunferencia (perímetro) de un círculo se
denota con la fórmula C = 2πr, donde r
representa el radio del círculo. Usa la calculadora para encontrar la
circunferencia de un círculo de mismo radio que los polígonos.
Presiona Block de notas para abrir la calculadora.
Ingresa la fórmula anterior escribiendo 2 x π x rIr=5.5 y presiona ENTER para obtener el
resultado. Escribe enseguida el dato calculado:
Perímetro del círculo:
Al aumentar el número de lados en los polígonos
¿Cómo se comparan sus perímetros con la circunferencia del círculo?
17. Ahora calcula el área del círculo dada por la
fórmula A = πr2. Escribe π
x r2lr=5.5 y presiona ENTER.
Escribe el dato obtenido:
Área del círculo:
Al aumentar el número de lados de un polígono regular,
¿cómo se comparan las áreas de estos con el área del círculo
